数学错题本（240728）

感觉过于短暂而充实的暑假里没什么动力写纸质错题本——那倒不如写上来，正好测试一下公式渲染器。

三角函数与函数综合

1. 若实数$x$，$y$满足$2cos^2(x+y-1)=\frac{(x+1)^2+(y-1)^2-2xy}{x-y+1}$，则$xy$的最小值为   .

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1 从何处下手

考虑到右侧相对于左侧更易于解析，所以从右侧下手：

$$2cos^2(x+y-1)=\frac{x^2+y^2-2xy+2x-2y+1+1}{x-y+1}$$

注意到存在公式：$\underline{(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+abc+2ac}$

∴ $2cos^2(x+y-1)=\frac{(x-y+1)^2+1}{x-y+1}=(x-y+1)+\frac{1}{(x-y+1)}$

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2 如何构建左右关系

又∵ $cos(x+y-1)\in[-1,1]$，$x-y+1+\frac{1}{x-y+1}\in[-\infty,-2]\cup[2,+\infty]$

∴ $2cos^2(x+y-1)\in[-2,2]$，

∴ $2cos^2(x+y-1)=x-y+1+\frac{1}{x-y+1}=2$.

又∵ $(x-y+1)+\frac{1}{(x-y+1)}$仅在$x-y+1=\frac{1}{x-y+1}$能取值为$2$，∴ $x-y+1=1$，$x=y$.

且∵ $cos^2(x+y-1)=\pm1$，∴ $x+y-1=k\pi$，$x=y=\frac{k\pi+1}{2}$

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3 临门一脚

∴ $xy=(\frac{k\pi+1}{2})^2\geq\frac{1}{4}$，仅当$k=0$时取等号。

总结：函数与三角函数的关系要落到具体的未知量的关系上去。

TO BE CONTINUED…